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原标题:求得矢度,曰弧矢割圆

浏览次数:54 时间:2019-09-27

◎历二

▲大统历法一上

【历二】

【历三】

造历者各有原本,史宜备录,使后人有以考。如《太初》之起数钟律,《大衍》之造端蓍策,皆详本志。《授时历》以测算术为宗,惟求合天,不牵合律吕、卦爻。然其法所以立,数之所从出,以及晷影、星度,都有全书。郭守敬、齐履谦传中,有书名可考。《元史》漫无采摭,仅存李谦之《议禄》、《历经》之初稿。其后改三应率及立成之数,与夫割圆弧矢之法,平立定三差之原,尽削不载。使笔者精意湮没,识者憾焉。今据《大统因通轨》及《历草》诸书,稍为编写制定,首法原,次立成,次推步。而法原之目七:曰句股测望,曰弧矢割圆,曰黄赤道内外度,曰白道交周,曰日月五星平立定三差,曰里差刻漏。

  ▲大统历法一上法原

  ▲大统历法一下法原

▲句股测望

  造历者各有原本,史宜备录,使后人有以考。如《太初》之起数钟律,《大衍》之造端蓍策,皆详本志。《授时历》以测算术为宗,惟求合天,不牵合律吕、卦爻。然其法所以立,数之所从出,以及晷影、星度,都有全书。郭守敬、齐履谦传中,有书名可考。《元史》漫无采摭,仅存李谦之《议禄》、《历经》之初稿。其后改三应率及立成之数,与夫割圆弧矢之法,平立定三差之原,尽削不载。使笔者精意湮没,识者憾焉。今据《大统因通轨》及《历草》诸书,稍为编写制定,首法原,次立成,次推步。而法原之目七:曰句股测望,曰弧矢割圆,曰黄赤道内外度,曰白道交周,曰日月五星平立定三差,曰里差刻漏。

  日月五星平定三差

京城立四丈表,长至节日午正,测得景辰七丈九尺八寸陆分。随以简仪测到太阳南至地平二十六度五十一分半,为半弧背。求得矢度,五度九十二分半。置星期天半径,截矢余五十四度九十五分成股,乃本地支戴日下之度。以弦股别句术,求得句二十六度一下七分六十六秒,为日出地半弧弦。

  ▲句股测望

  太阳盈缩平立定三差之原。

国都立四丈表,大雪日午正,测得景长一丈一尺七寸一分。随以简仪测到太阳南至地平七十四度三十多分半,为半弧背。求得矢度,四十三度七拾柒分少。置周末半径,截矢余一十七度一十几分二十五秒为句,乃当地去戴日下之度。以句弦别股术,求得股五十八度四十二分半,为日出地半弧弦。

  香江立四丈表,长至节日午正,测得景辰七丈九尺八寸陆分。随以简仪测到太阳南至地平二十六度伍拾六分半,为半弧背。求得矢度,五度九十二分半。置周末半径,截矢余五十四度九拾伍分为股,乃本地支戴日下之度。以弦股别句术,求得句二十六度一下八分六十六秒,为日出地半弧弦。

  亚岁前后盈初缩末限,八二日九十一刻,就整。离为六段,每段各得一14日八十二刻。就整。各段实地衡量日躔度数,与平行相较,以为积差。

以二至日度相并,得一百度柒拾四分,折半得五十度叁十六分半,为东京市赤道出地度。以赤道出地度转减周天四之一,余四十度玖拾伍分九十三秒七十五微,为京城北极出地度。

  东京立四丈表,大寒日午正,测得景长一丈一尺七寸一分。随以简仪测到太阳南至地平七十四度二拾伍分半,为半弧背。求得矢度,四十三度七十八分少。置星期六半径,截矢余一十七度一磅lb分二十五秒为句,乃本地去戴日下之度。以句弦别股术,求得股五十八度肆十七分半,为日出地半弧弦。

  积日积差

▲弧矢割圆

  以二至日度相并,得一百度七公斤分,折半得五十度四十多分半,为新加坡赤道出地度。以赤道出地度转减周日四之一,余四十度九十陆分九十三秒七十五微,为东京市北极出地度。

  第一段一十二十十七日八二七千零伍十五分零二五

周六经一百二十一度七十分少。半径六十零度捌十八分半。二至黄赤道上下半弧背二十四度。二至黄赤道弧矢四度九十分十二秒。黄赤道大句二十三度柒十四分七十秒。黄赤道大股五十六度零二分六十八秒。(半径内减去矢度之数。)

  ▲弧矢割圆

  第二段12日六四30000二千九百七十六三九二

割圆求矢术 置半弧度自之,为半弧背幕,周天径自之,为上廉。上廉乘半弧背幕,为正实。上廉乘径,为益从方。半弧背倍之,乘径,为下廉。以初商乘上廉,得数以减益从方,余为从方。置初商自之以下廉,余以初商乘之,为从廉。从方、从廉相并,为下法。下法乘初商,以减正实,实不足减,改初商。实有不尽,次第商除之。倍初商数,与次商相并以乘上廉,得数以减益从方,余为从方。并初商次商而自之,又以初商自之,并二数以压缩廉,余以初商倍数并次商乘之,为从廉。从方、从廉相并,为下法。下法乘次商,以减余实,而定次商。有不尽者,如法商之,都是商得数为矢度之数。

  周末经一百二十一度七拾陆分少。少不用。半径六十零度玖十三分半。又为黄赤道大弦。二至黄赤道上下半弧背二十四度。所测就整。二至黄赤道弧矢四度八十分十二秒。黄赤道大句二十三度八十几分七十秒。黄赤道大股五十六度零二分六十八秒。半径内减去矢度之数。

  第三段四十三日四六两千07000第六百货九十三七四六二

如以半弧背一度求矢。术曰:置半弧背一度自之,得一度,为半弧幕。置周日径一百二十一度太自之,得30000陆仟八百二十三度零五分二十五秒,为上廉。上廉乘半弧背幕,得200005000八百二十三度零四分二五,为正实。上廉又乘径,得一百八十零万伍仟七百零七度八十多分九十三秒七五,为益从方。半弧背一度倍之,得二度,以乘径得二百四十三度四二十一分,为下廉。初商八十秒。置初商八十秒乘上廉300004000八百二十三度零六二五,得第一百货公司一十八度五八四五,以减益从方一百八十零万6000七百零七度八五九三七五,余一百八十零万6000五百八十九度二七四八七五,为从方。又置初商八十秒自之,得六十四微,以减掉廉余二百四十三度四九九三六。仍以八十秒乘之,得早已九四七九九九四八八,为从廉。以从廉、从方并之,共得一百八十零万四千五百九十一度二二二八七四四八八,为下法。下法乘初商,得一万五千四百三十六度七十多分九七八二九九五九零四,以减正实,余实三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商二秒。置初商八十秒倍之,得一分六十秒。加次商二委六十二秒,乘上廉一千0四千八百二十三度零六二五,得二百四十零度一三三六一二五,以减益从方,余一百八十零万伍仟四百六十七二五七六二五,为从方。又置初次商八十二秒自之,得六十七微。加初商八十秒自之之数,得一秒三十一微,以缩短廉,余二百四十三度四九九八六九。在此在此之前所得一分六十二秒乘之,得三度九十70%六九七八七七八,为从廉。以从廉、从方并,得一百八十零万5000四百七十一度六十八分零四六零三七八,为下法。下法乘次商,得第三百货六十零度八九四三三四零九二零七五五六,以减余实,仍余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。(不足一秒叶不用,下同。)

  割圆求矢术 置半弧度自之,为半弧背幕,周日径自之,为上廉。上廉乘半弧背幕,为正实。上廉乘径,为益从方。半弧背倍之,乘径,为下廉。以初商乘上廉,得数以减益从方,余为从方。置初商自之以下廉,余以初商乘之,为从廉。从方、从廉相并,为下法。下法乘初商,以减正实,实不足减,改初商。实有不尽,次第商除之。倍初商数,与次商相并以乘上廉,得数以减益从方,余为从方。并初商次商而自之,又以初商自之,并二数以调整和减少廉,余以初商倍数并次商乘之,为从廉。从方、从廉相并,为下法。下法乘次商,以减余实,而定次商。有不尽者,如法商之,都以商得数为矢度之数。黄赤道同用。

  第四段五17日二八一千01000一百四十八七三二八

凡求得矢度八十二秒,余度各如上法,求到矢度,认为黄赤相求及其前后度之根。

  如以半弧背一度求矢。术曰:置半弧背一度自之,得已经,为半弧幕。置周末径一百二十一度太自之,得两千05000八百二十三度零陆分二十五秒,为上廉。上廉乘半弧背幕,得三千0五千八百二十三度零五分二五,为正实。上廉又乘径,得一百八十零万伍仟七百零七度八十一分九十三秒七五,为益从方。半弧背一度倍之,得二度,以乘径得二百四十三度肆十六分,为下廉。初商八十秒。置初商八十秒乘上廉10000四千八百二十三度零六二五,得一百一十八度五八四五,以减益从方一百八十零万6000七百零七度八五九三七五,余一百八十零万伍仟五百八十九度二七四八七五,为从方。又置初商八十秒自之,得六十四微,以缩减廉余二百四十三度四九九三六。仍以八十秒乘之,得一度九四七九九九四八八,为从廉。以从廉、从方并之,共得一百八十零万陆仟五百九十一度二二二八七四四八八,为下法。下法乘初商,得一万5000四百三十六度七十五分九七八二九九五九零四,以减正实,余实三百八十六度三十二分二七一七零零四零九六。次商二秒。置初商八十秒倍之,得一分六十秒。加次商二委六十二秒,乘上廉两千0伍仟八百二十三度零六二五,得二百四十零度一三三六一二五,以减益从方,余一百八十零万6000四百六十七二五七六二五,为从方。又置初次商八十二秒自之,得六十七微。加初商八十秒自之之数,得一秒三十一微,以减小廉,余二百四十三度四九九八六九。以前所得一分六十二秒乘之,得三度九十八成六九七八七七八,为从廉。以从廉、从方并,得一百八十零万伍仟四百七十一度六十七分零四六零三七八,为下法。下法乘次商,得三百六十零度八九四三三四零九二零七五五六,以减余实,仍余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。不足一秒叶不用,下同。

  第五段七十16日一零100003000二百七十九九九七

▲黄赤道差

  凡求得矢度八十二秒,余度各如上法,求到矢度,以为黄赤相求及其左右度之根。数详后。

  第六段八十二十二日九二贰万6000零二十六一八四

求黄赤道各度下赤道积度术。 置星期日半径内减去黄道矢度,余为黄赤道小弦。置黄赤道小弦,以黄赤道大股乘之为实。黄赤道大弦为法。实如法而一,为黄赤道小股。直黄道矢自乘为实,以星期六全径为法,实如法而一,为黄道半背弦差。以差去减黄赤道积度,余为黄道半弧弦。置黄赤道半弧弦自之为股幕,黄赤道小股自之为句幕,二幕并之,以开平办法除之,为赤道小弦。置黄赤道半弧弦,以周日半径乘之为实,以赤道小弦为法而一,为赤道半弧弦。置黄赤道小股,以赤道大弦乘之为实,以赤道小弦为法而一,为赤道横大句,以减半径,余为赤道磺弧矢。横弧矢自之为实,以全径为法而一,为赤道半背弦差。以差加赤道半弧,为赤道积度。

  ▲黄赤道差

  各置其段积差,以其段积日除之,为各段日平差。置各段日平差,与后段日平差相减,为一差。置一差,与后段一差相减,为二差。

如黄道半弧背一度,求赤道积度。术曰:“置半径六十零度八二十一分五十秒,内减黄道矢八十二秒余六十零度八六六八,为黄赤道小弦。置黄赤道小弦,以黄赤道大股五十六度零二六八乘之,得三千四百一十零度一七二零三零二四为实,以黄赤道大弦六十零度八七五为法,实如法而一,得五十六度零一分九十二秒,为黄赤道小股。置矢度八十二秒自之,得六十七微,以全径一百二十一度七五为法,除之得五十五纤,为黄道平半背弦差。置黄道半弧弦一度,内减黄道半背弦差,余为半弧弦,因因差在微以下不减,即用已经为半弧弦。置黄道半弧弦一度自之,得已经为股幕。黄赤道小股五十六度零一矣二自之,得两千一百三十八度一五零七六八六四为句幕。二幕并得三千一百三十九度一五零七六八六四为弦实,平方开之,得五十六度零二八一,为赤道小弦。置黄道半弧弦一度,以半径乘之,得六十零度八七五为实,以赤道小股五十六度零二八一为法除之,得已经零柒分六十五秒,为赤道半弧弦。置黄赤道小股五十六度零一九二,以赤道大弦六十零度八七五乘之,得2000四百一十零度一六八八为实,以赤道小弦为法除之,得六十零度八二十一分五十三秒,为赤道横大句。置半径六十零度玖十九分五十秒,内减赤道大句六十零度玖十分五十三秒,余九十七秒,为赤道横弧矢。置赤道横弧矢九十七秒自之,得九十四微零九,以全径为法除之,得七十纤,为赤道背弦差。置赤道半弧弦一度零七分六十五秒,加赤道背弦差,为赤道积度,今差在微已下不加,即用半弧弦为积度。

  求黄赤道各度下赤道积度术。 置周天半径内减去黄道矢度,余为黄赤道小弦。置黄赤道小弦,以黄赤道大股乘之大股见割圆为实。黄赤道大弦半径为法。实如法而一,为黄赤道小股。直黄道矢自乘为实,以周末全径为法,实如法而一,为黄道半背弦差。以差去减黄赤道积度,即黄道半弧背。余为黄道半弧弦。置黄赤道半弧弦自之为股幕,黄赤道小股自之为句幕,二幕并之,以开平办法除之,为赤道小弦。置黄赤道半弧弦,以星期天半径亦为赤道大弦乘之为实,以赤道小弦为法而一,为赤道半弧弦。置黄赤道小股,亦为赤道横小句以赤道大弦即半径乘之为实,以赤道小弦为法而一,为赤道横大句,以减半径,余为赤道磺弧矢。横弧矢自之为实,以全径为法而一,为赤道半背弦差。以差加赤道半弧,为赤道积度。

  日平差一差二差

凡求得赤道积度一度零七分六十五秒。余度各如上法,求到各黄道度下赤道积,两数相减,即得黄赤道差,以致后之率。其分后,以赤道度求黄道,反此求之,其数并同。

  如黄道半弧背一度,求赤道积度。术曰:「置半径六十零度九拾壹分五十秒,即黄赤道大弦。内减黄道矢八十二秒余六十零度八六六八,为黄赤道小弦。置黄赤道小弦,以黄赤道大股五十六度零二六八乘之,得三千四百一十零度一七二零三零二四为实,以黄赤道大弦六十零度八七五为法,实如法而一,得五十六度零一分九十二秒,为黄赤道小股。又为赤道小句。置矢度八十二秒自之,得六十七微,以全径一百二十一度七五为法,除之得五十五纤,为黄道平半背弦差。置黄道半弧弦一度,内减黄道半背弦差,余为半弧弦,因因差在微以下不减,即用已经为半弧弦。置黄道半弧弦一度自之,得一度为股幕。黄赤道小股五十六度零一矣二自之,得2000一百三十八度一五零七六八六四为句幕。二幕并得2000一百三十九度一五零七六八六四为弦实,平方开之,得五十六度零二八一,为赤道小弦。置黄道半弧弦一度,以半径即赤道大弦乘之,得六十零度八七五为实,以赤道小股五十六度零二八一为法除之,得一度零八分六十五秒,为赤道半弧弦。置黄赤道小股五十六度零一九二,又为赤道小句。以赤道大弦半径六十零度八七五乘之,得两千四百一十零度一六八八为实,以赤道小弦为法除之,得六十零度八十八分五十三秒,为赤道横大句。置半径六十零度一百分五十秒,内减赤道大句六十零度一百分五十三秒,余九十七秒,为赤道横弧矢。置赤道横弧矢九十七秒自之,得九十四微零九,以全径为法除之,得七十纤,为赤道背弦差。置赤道半弧弦一度零七分六十五秒,加赤道背弦差,为赤道积度,今差在微已下不加,即用半弧弦为积度。

  第一段四百八33.33%五叁拾五分四五一分三八

▲黄赤道相求弧矢诸率立成上

  凡求得赤道积度一度零七分六十五秒。余度各如上法,求到各黄道度下赤道积,两数相减,即得黄赤道差,以致后之率。其分后,以赤道度求黄道,反此求之,其数并同。

  第二段四百叁拾四分八零四十八分八三一分三八

▲黄赤道相求弧矢诸率立成下

  ▲黄赤道相求弧矢诸率立成上

  第三段三百九十七分九七四十二分二一一分三八

按郭敬创法五端,内一曰黄道差,此其根率也。旧法以一百一度相减乘。《授时》立术,以句股、弧矢、方圆、斜直所容,求其数差,合於浑象之理,视古为密。顾《至元历经》所载略,又误以黄道矢度为积差,黄道矢差为率,今正之。

  表格略

  第四段三百伍二十一分七六四十几分五九一分三八

▲割圆弧矢图

  ▲黄赤道相求弧矢诸率立成下

  第五段三百一拾伍分叁七肆拾伍分九七

凡浑圆中剖,则成平圆。任割平圆之一分,成弧矢形,都有弧背,有弧弦,有矢。剖弧矢形而半之,则有半弧背,有半弧弦,有矢。因弦矢句股形,以半弧弦为句,矢减半径之余为股,半径为弦。句股内成小句股,则有小句、小股、小弦、而高低可互求,平侧可互用,浑圆之理,斯为密近。

  表格略

  第六段二百七十零分二零

平者为赤道,斜者为黄道。因二至黄道赤之距,生大句股。因各度黄赤之距,生小句股。

  按郭敬创法五端,内一曰黄道差,此其根率也。旧法以一百一度相减乘。《授时》立术,以句股、弧矢、方圆、斜直所容,求其数差,合於浑象之理,视古为密。顾《至元历经》所载略,又误以黄道矢度为积差,黄道矢差为率,今正之。

  置第一段日平差,四百八四成十五秒,为凡平积。以第二段二差一分三十八秒,去减第一段一差十八分四十五秒,余肆十分零七秒,不凡平积差。另置第一段二差一分三十八秒,折半得六十九秒,为凡立积差。以凡平积差四十几分零七秒,插足凡平积四百七二十分二十五秒,共得五百一市斤分三十二秒,为定差。

外大圆为赤道。从北极相望,则黄道在赤道内,有赤道各度,即各有其半弧弦,以生大名股。又各有其十分之黄道半弧弦,以生小句股。此二者皆可互求。

  ▲割圆弧矢图

  以凡立积差六十九秒,去减凡平积差叁贰拾壹分零七秒,余三二十三分三十八秒为实,以段日一十二十三日八十二刻为法除之,得二分四十六秒为平差。置凡立积差六十九秒为实,以段日为法除壹回,得三十一微,为立差。

按旧史无图,然表亦图之属也。今句股割弧矢之法,实为历家测算之本。非图不明,因存其要者数端。

  凡浑圆中剖,则成平圆。任割平圆之一分,成弧矢形,都有弧背,有弧弦,有矢。剖弧矢形而半之,则有半弧背,有半弧弦,有矢。因弦矢句股形,以半弧弦为句,矢减半径之余为股,半径为弦。句股内成小句股,则有小句、小股、小弦、而高低可互求,平侧可互用,浑圆之理,斯为密近。

  大寒前后缩初盈末限,九十十21日七十一刻,就整。离为六段,每段各得一十二三十日六十二刻。就整。各段实地度量日躔度数,与平行相较,认为积差。

▲黄赤道内外度

  平者为赤道,斜者为黄道。因二至黄道赤之距,生大句股。因各度黄赤之距,生小句股。

  积日积差

推黄道各度,距赤道内外及去极远近术。置半径内减去赤道小弦,余为赤道二弦差。(又为黄赤道小弧矢,又为内外矢,又为股弦差。)置半径内外减去黄道矢度,余为黄赤道小弦,以二至黄赤道内外半弧弦乘之为实,以黄赤道大弦为法,除之为黄赤道小弧弦。(即黄赤道内外半弧弦,又为黄赤道小句。)置黄赤道小弧矢自之,以全径除之,为半背弦差。以差加黄赤道小弧弦为黄赤道小弧半背,即黄赤道内外度。置黄赤道内外度,视在盈初缩末限以加,在缩初盈天限以减,皆加减象限度,即各得太阳去北非常分。

  外大圆为赤道。从北极相望,则黄道在赤道内,有赤道各度,即各有其半弧弦,以生大名股。又各有其一定之黄道半弧弦,以生小句股。此二者皆可互求。

  第一段一十三十一日六二7000零五十柒分九九零四

如长至节后四十四度,求太阳去赤道上下及去最棒。术曰:“置半径六十零度捌拾肆分半,内减黄道四十四度下赤道小弦五十八度三十多分六十九秒,余二度伍拾伍分八十一秒,为黄赤道小弧矢。置半径六十零度八七五,内减黄道四十四度,矢一十六度六二十一分八十二秒,余四十四三十零分六十八秒,为黄赤道小弦。置黄赤道小弦,以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分乘之,得1000零五十零度五十三分四二三八为实,以黄赤道大弦六十零度八七五为法除之,得一十七度二十四分十九秒为黄赤道小弧弦。置黄赤道小弧矢二度伍拾九分八十一秒自之为实,以全径地百二十一度柒十四分除之,得百分之二十五十一秒为背弦差,以差加黄赤道小弧弦一十七度二十二分六十九秒,得一十七度三十零分八十九秒,为二至前后四十四度,太阳去赤道内外度。置象限九十一度叁十分四十三秒七五,以内外度一十七度三零八九授予,得一百零八度六十二分三十二秒七五,为亚岁后四十四度太阳去北特别。

  按旧史无图,然表亦图之属也。今句股割弧矢之法,实为历家估测计算之本。非图不明,因存其要者数端。

  第二段三十二十七日二四10000二千九百七十八六五八

▲黄道每度去赤道前后及去北极立成

  ▲黄赤道内外度

  第三段四十四日八六二万8000六百九十六六七九

▲白道交周

  推黄道各度,距赤道内外及去极远近术。置半径内减去赤道小弦,余为赤道二弦差。又为黄赤道小弧矢,又为内外矢,又为股弦差。置半径内外减去黄道矢度,余为黄赤道小弦,以二至黄赤道上下半弧弦乘之为实,以黄赤道大弦为法,即半径。除之为黄赤道小弧弦。即黄赤道内外半弧弦,又为黄赤道小句。置黄赤道小弧矢自之,即赤道二弦差。以全径除之,为半背弦差。以差加黄赤道小弧弦为黄赤道小弧半背,即黄赤道内外度。置黄赤道内外度,视在盈初缩末限以加,在缩初盈天限以减,皆加减象限度,即各得太阳去北极其分。

  第四段六十二二十二日四八二万万一千一百五十零七二九六

推白赤道正交,距黄赤道正交北极数。术曰:“置实地测量白道出入黄道内外六度为半径弧弦,又为大图弧矢,又为股弦差。置半径六十零度七五自之,得3000七百零五度七六五六二五,以矢六度而一,得第六百货一十七度六贰十三分为股弦和,加矢六度,共六百二十三度七十分为大圆径。依法求得容阔五度七贰十二分,又为小句。又以二至出入半弧弦二十三度柒拾叁分为大句。以大句为法,除大股五十六度零陆分五十秒,得二度叁二十一分为度差。以度差乘小句,得小股一十三度肆拾贰分八十二秒,为容半长。置半径六十零度八七五为大弦,以乘小句五度七十分为实,以大句二十三度七十三分为法除之,得一十四度六公斤分为小弦,又为白赤道正交,距黄赤道正交半弧弦。 依法求行半弧背一十四度六十七分,为白赤道正交距黄赤道正交极娄数。

  如冬节后四十四度,求太阳去赤道上下及去极端。术曰:「置半径六十零度八十几分半,内减黄道四十四度下赤道小弦五十八度三十二分六十九秒,余二度伍十二分八十一秒,为黄赤道小弧矢。即上下矢。置半径六十零度八七五,内减黄道四十四度,矢一十六度五十四分八十二秒,余四十四三十零分六十八秒,为黄赤道小弦。置黄赤道小弦,以二至黄赤道上下半弧弦二十三度柒十二分乘之,得1000零五十零度五十分四二三八为实,以黄赤道大弦六十零度八七五为法除之,得一十七度二十伍分十九秒为黄赤道小弧弦。即上下半弧弦。置黄赤道小弧矢二度伍十二分八十一秒自之为实,以全径地百二十一度七十多分除之,得四分之一十一秒为背弦差,以差加黄赤道小弧弦一十七度二二十一分六十九秒,得一十七度三十零分八十九秒,为二至前后四十四度,太阳去赤道上下度。置象限九十一度四十多分四十三秒七五,以内外度一十七度三零八九给予,得一百零八度陆十五分三十二秒七五,为长至节后四十四度太阳去北极其。

  第五段七十二十三日一零二万3000二百七十八四八六

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  ▲黄道每度去赤道前后及去北极立成

  第六段九十17日七二三千0伍仟零百一十七六二四四

  表格略

  推日平差、一差、二差术,与盈初缩末同。

  ▲白道交周

  日平差一差二差

  推白赤道正交,距黄赤道正交北极数。术曰:「置实地度量白道出入黄道内外六度为半径弧弦,又为大图弧矢,又为股弦差。置半径六十零度七五自之,得贰仟七百零五度七六五六二五,以矢六度而一,得第六百货一十七度六市斤分为股弦和,加矢六度,共第六百货二十三度六二十分为大圆径。依法求得容阔五度七十捌分,又为小句。又以二至出入半弧弦二十三度七十分为大句。以大句为法,除大股五十六度零陆分五十秒,得二度三十六分就整为度差。以度差乘小句,得小股一十三度四贰拾叁分八十二秒,为容半长。置半径六十零度八七五为大弦,以乘小句五度陆十五分为实,以大句二十三度七拾五分为法除之,得一十四度六十七分为小弦,又为白赤道正交,距黄赤道正交半弧弦。 依法求行半弧背一十四度六拾伍分,为白赤道正交距黄赤道正交极娄数。

  第一段四百伍拾六分九二三十多分四七一分三三

  第二段四百一十十分七五四二十一分八零一分三三

  第三段三百柒拾八分六五叁拾三成二一分三三

  第四段三百三十七分五二四十零分四六一分三三

  第五段二百玖拾壹分零六四十五分七九

  第六段二百五二十分二七

  置第一段日平差,四百伍拾伍分九十二秒,为凡平积。以率先段二差一分三十三秒,去减第一段一差四十多分四十七秒,余三十八分一十四秒,为凡平积差。另置第一段二差一分三十三秒折半,得六十六秒五十微,为凡立积差。以凡平积差三十多分一十四秒,出席凡平积四百伍十分九十二秒,共四百捌十八分零六秒,为定差。以凡『立积差六十六秒五十微,去减凡平差叁拾四分之二十四秒,余三十五分四十七秒五十微为实,以段日一十二七日六二为法除之,得二分二十一秒,为平差。置凡立积差六十六秒五十微为实,以段日为法,除一次,得二十七微,为立差。

  凡求盈缩,以入历初后期乘立差,得数以加平差,再以初末日乘之,得数以减定差,余数以初末日乘之,为盈缩积。

  凡盈历以八十二十四日九零九二二五为限,缩历以九十四日七一二零二五为限。在其限已下为初,以上转减半岁周馀不末。盈初是人长至节后顺推,缩末是从冬至节前逆溯,其距冬至节同,故其盈积同。缩初是从立秋后顺推,盈末是从冬至前逆溯,其距大雪同,故其缩积同。

  表格略

  ▲盈缩招差图说

  盈缩招生,本为一象限之法。如盈历则以八十四日九十一刻为象限,缩历则以九十十一日七十一刻为象限。今止作九限者,举此为例也。其空格九行定差本数,为实也。其斜绵以上平差立差之数,为法也。斜绵以下空格之定差,乃余实也。倘若定差为一万,平差为一百,立差为单一。今求九限法,以九限乘定差得玖仟0为实。另置平差,以九限乘一次,得8000第一百货公司。置立差,以九限乘贰回,得七百二十九。并两数得八百二十九为法。以法减实,余1000001000一百七十一,为九限积。又法,以九限乘平差行九百,又以九限乘立差一次得八十一,并两数得九进八十一为法,定差三千0为实,以法减实,余矣千零一十九,即九限倒数一位所书之定差也。于是瑞以九限乘余实,得十万1000一百七十一,为九限积,与前所不所得分歧。盖前法是先乘后减,又法是先减后乘,其理一也。

  按《授时历》于七政盈缩,并以垛积招差立算,其污七巧合天行,与西人用小轮推步之法,异口同声。然世所传《楚辞》诸书,不载其术,《历草》载其术,而不言其故。娄底梅文鼎为之图解,于平差、立差之理,垛积之法,都有以发明其所以然。有专书行于世,不能够备录,谨录《招生图说》,以明立法之大体云。

  盈初缩末置立差三十一微,以六因之,得一秒八十六微,为加分立差。置平差二分四十六秒,倍之,得四分九十二秒,插足加分立差,得五分九十二秒八十六微,为平立合差。

  置定差五百一十七分三十二秒,内减平差二分四十六秒,再减立差三十一微,余五百一十零分八十五秒六十九微,为加分。

  缩初盈末 置立差二十七微,以六因之,得一秒六十二微,为加分立差。置平差二分二十一秒,倍之,得八成十二秒,参预加分立差,得八成十三秒六十二微,为平立合差。

  置定差四百八十五分零六秒,内减平差二分二十一秒,再减立差二十七微,余四百捌十六分八十四秒七十三微,为加分。

  已上所推,皆初日之数。其推次日,都是加分立差,累加平立合差,为次日平立合差。以平立合差减其日加分,为前日加分,盈缩并同。其加分积累之,即盈缩积,其数并见立成。

  ▲太阴迟疾平立三差之原

  太阴转周一十二十五日五十五刻四六。测分四象,象各七段,四象二十八段,每段十二限,每象八十四限,凡第三百货三十六限,而四象一周。以四象为法,除转星期日,得每象二十一日八八八六五,分为七段,每段下实地度量月行迟疾之数,与平行相较,以求积差。

  积限积差

  第一段一十二早已二十柒分七一二

  第二段二十四二度肆拾伍分九六一六

  第三段三十六三度伍十分三七九二

  第四段四十八四度叁十五分五九五二

  第五段六十四度九十二分一四

  第六段七十二五度三十多分九四四

  第七段八十四五度五十分三三七六

  各置其段积差,以其段积限为法除之,为各段限平差。置各段限平差,与后段相减为一差。置一差,与后段一差相减为二差。

  限平差一差二差

  第一段一十零分七二六零四十七秒七六九秒三六

  第二段一十零分二四八四五十七秒一二九秒本六

  第三段捌分六七七二六十六秒四八九秒三六

  第四段八分零一二四七十五秒八四九秒三六

  第五段七分二五四零八十五秒二零九秒三六

  第六段九分四零二零九十四秒五六

  第七段伍分四五六四

  置第一段限平差一十零分七二六为凡平积。置第一段一差四十七秒七六,以第一段二差九秒三六减之,余三十八秒四十微,为凡平积差。另置第一段二差九秒三十六微折半,得四秒六十八微,为凡立积差。以凡平积差三十八秒四十微,加凡平积一十零分七二六,得一十分一十一秒,为定差。置凡平积差三十八秒四十微,以凡立积差四秒六十八微减之,余三十三秒七十二微为实,以十二限为法除之,得二秒八十一微,为平差。置凡立积差四秒六十八微为实,十二限为法,除二回,得三微二十五纤,为立差。

  凡求迟疾,都以入历日乘十二限二十二分,以在八十四限已下为初,已上转减一百六十八限余为末。各以初末限乘立差,得数以加平差,再以初末限乘之,得数以减定差,余以初末限乘之,为迟疾积。其初限是从最迟最疾处顺推至后,末限是从最迟最疾处逆溯至前,其距其距最晚疾处同,故其积度同。太阴与阳光立法同,但阳光以定气立限,故盈缩异数。太阴以平行立限,故迟疾同原。

  布立成法 置立差三微二十五纤,以六因之,得一十九微五十纤,为利润或蚀本立差。置平差二秒八十一微,倍之,得五秒六十二微,再加财务成果立差一十九微五十纤,共得五秒八十一微,为初限平立合差。自此以财务成果立差,累加之,即每限平立合差。至八十限下,积至二十一秒四一五,为平立合差之极。八十一限下差一秒七八零九,八十二限上一秒七八零八,至八十三限下,平立合差,与益分中分,为益分之终。八十四限下差,亦与损分中分,为损分之始。至八十六限下差,亦二十一秒四一五,自此以利润或赔本立差累减之,即每限平立合差,至末限与初限同。置定差一十二分一十一秒,内减平差二秒八十一微,再减立差三微二十五纤,余一拾贰分零八秒一十五微七十五纤为加分定差,即初限财务成果分。置财务成果分,以其限平立合差益减损加之。即为次限利润或亏蚀分。以益分积之,损分减之,便为其下迟疾度。以八百二十分为一限日率,累加八百二十分为每限日率。以上俱详立成。

  五星平立定三差之原 凡五星各以实地衡量,分其行度为八段,以求积差,略如日月法。

  水星立差加,平差减。

  积日积差

  第一段一十二十五日五十刻一度二一五二九七一一二

  第二段二十二17日二度三四零五二一四

  第三段三十三十二十日五十刻三度三五四一三七二六五

  第四段四十日四度二三四六零九一二

  第五段五十二十二日五十刻四度九六零四零一三七五

  第六段六二十三日五度五零九九七八四四

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